مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية و مبادئ في الحسابيات

مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية و مبادئ في الحسابيات






القدرات المنتظرة

*- توظيف الزوجية وتفكيك عدد إلى جداء عوامل أولية في حل بعض المسائل البسيطة
حول الأعداد الصحيحة الطبيعية.




-I-مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية :

-1 مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية:

*نشاط*

من بين الأعداد التالية حدد تلك التي تمثل أعدادا صحيحة طبيعية:

5 ; 4+16 ; 5/2 ; 12-23 ; 15/3 ; 2.15

*تعريف*

الأعداد 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , .... , n ;تسمى أعدادا صحيحة طبيعية و تكون مجموعة تسمى مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية نرمز لها ب .N 
نكتب ( 0 , 1 , 2 , ....)=N

مصطلحات و ترميز
*- العدد 0 يسمى العدد الصحيح الطبيعي المنعدم
*- مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية الغير المنعدمة نرمز لها بالرمز *N

2-الأعداد الزوجية – الأعداد الفردية:

*تعريف*
- نقول إن العدد الصحيح الطبيعي a عدد زوجي إذا وفقط آان يوجد عدد صحيح طبيعي k حيث : a=2k-نقول إن العدد الصحيح الطبيعي a عدد فردي إذا وفقط آان يوجد عدد صحيح طبيعي k حيث a=2k+1
*أمثلة*

الأعداد 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , .. أعداد زوجيةالأعداد 1 , 3 , 5 , 7 , 9 .....أعداد فردية
*ملاحظات*

*- العدد الصحيح الطبيعي هو إما عدد زوجي أو عدد فردي
*- مجموع عددين زوجيين هو عدد زوجي
*-مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي
*-مجموع عدد زوجي و عدد فردي هو عدد فردي
II- مضاعفات عدد – قواسم عدد :

1-مضاعفات عدد:
*تعريف*
ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين حيث b غير منعدم
نقول إن العدد a مضاعف للعدد b إذا وفقط إذا وجد عدد صحيح طبيعي k حيث a=bk*أمثلة*
- الأعداد 0 , 5 , 10 , 15 ... 1755 مضاعفات للعدد 5
-22 ليس مضاعف للعدد 4
* ليكن b عنصراً من *N
مضاعفات b هي الأعداد kb حيث k ينتمي الى N
0×k =0
*خاصية*
* لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم ما لنهاية من المضاعفات
* للعدد 0 مضاعف وحيد هو 0*المضاعف المشترك الأصغر*
ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين
المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b هو أصغر مضاعف مشترك غير منعدم للعددين a و b نرمز له بالرمز ppcm

أمثلة
ppcm (4;9) = 36
ppcm (6;10)=30
-2قواسم عدد:

*تعريف*
ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين حيث b غير منعدم
نقول إن العدد b قاسم للعدد a إذا وفقط إذا وجد عدد صحيح طبيعي k حيث a=bk
*ملاحظة*
العدد b قاسم للعدد a إذا وفقط إذا العدد a مضاعف للعدد b
نقول أيضا العدد a قابل للقسمة على b
-آلعدد آلصحيح آلطبيعي غير منعدم مخالفا ل 1 له على الاقل قاسمان 1 و نفسه
- للعدد 1 قاسم وحيد هو نفسه
-جميع الأعداد الصحيحة الطبيعية الغير المنعدمة تقسم 0
*القاسم المشترك الأآبر لعددين*

تعريف:
ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين
القاسم المشترك الأآبر للعددين a و b هو اآبر قاسم مشترك لهما
نرمز له بالرمز pgcd
مثال:
pgcd(126;90)=18
pgcd(4;9)=1
III-الأعداد الأولية :

1- تعريف:
نسمي عددا أوليا آل عدد صحيح طبيعي له قاسمان بالضبط
*أمثلة*
-حدد الأعداد الأولية الأصغر من 40الأعداد الأولية الأصغر من 40 هي: 2,3,7,11,13,17,19,23,29,31,37
2-التفكيك إلى جداء عوامل أولية لعدد غير أولي مبرهنة (مقبولة):
كل عدد صحيح طبيعي n هو عدد أولي أو جداء عوامل أولية .
أمثلة:
41 عدد أولي
72 عدد غير أولي و 72 = 8×9 = 3×3×2×2×2
تعريف:
ليكن a عددا صحيحا طبيعيا غير أولي
كتابة a على شكل جداء عوامله أولية تسمى " التفكيك إلى جداء عوامل أولية" للعدد a
أمثلة:فكك الأعداد 24;319;1344 إلى جداء عوامل أولية
24=8×3=2×2×2×3
319=11×29
1344=4×4×4×21=2×2×2×2×2×2×3×7
تقنية للتفكيك

-لتفكيك عدد صحيح طبيعي غير منعدم a نأخذ اصغر عدد أولي يقسم a و ننجز القسمة فنحصل على عدد b خارج القسمة فنأخذ اصغر عدد أولي يقسم b فنحصل على خارج القسمة .......و نتابع على هذا المنوال حتى نحصل على خارج يساوي 1 .
العدد a سيكون هو جداء جميع الأعداد الأولية التي قسمنا بها .

إضافات

* طريقة لتحديد المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b حيث a>b
أحدد مضاعفات a ثم أتآكد بالتتابع ابتداء من أصغر مضاعف غير منعدم للعدد a هل هو مضاعف للعدد b , فإذا آان الجواب لا ، أتابع البحث إن آان نعم ، أتوقف و العدد الذي حصلت فيه على هذا الجواب هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b .

**طريقة لتحديد القاسم المشترك الآكبر للعددين a و b حيث a>b
أحدد قواسم العدد b ثم أتآكد بالتتابع تناقصيا ابتداء من أآبر قاسم للعدد b هل هو قاسم للعدد a فإذا آان الجواب لا ، أتابع البحث ان آان نعم ، أتوقف و العدد الذي حصلت فيه على هذا الجواب هو القاسم المشترك الأآبر للعددين a و b .

***طريقة لتحديد ما إذا كان العدد a أوليا أم لا
نحدد أولا جميع الأعداد الأولية p حيث p×p-إذا كان a يقبل القسمة على أحد هذه الأعداد فان a غير أولي -إذا كان a لا يقبل القسمة على أي عدد من هذه الأعداد فان a أولي