تمارين تطبيقية في الرياضيات السرعة الثالثة إعدادي

التصحيح

المسألة الأولى:

السرعة النسبية للصاروخين = 2000 كم/ساعة + 1000 كم/ساعة = 3000 كم/ساعة.

المسافة التي يقطعها الصاروخان معًا في دقيقة واحدة = (3000 كم/ساعة) × (1/60 ساعة) = 50 كم.

إذن، المسافة بين الصاروخين قبل دقيقة واحدة من التصادم هي 50 كيلومترًا.

المسألة الثانية:

لحساب قيمة العدد A:

A = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (√5 + 2)))

أولاً، نبسط الكسر الداخلي:

1 / (√5 + 2) = (√5 - 2) / ((√5 + 2)(√5 - 2)) = (√5 - 2) / (5 - 4) = √5 - 2

نعوض هذه القيمة في التعبير عن A:

A = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + √5 - 2)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (2 + √5))

الآن، نبسط الكسر التالي:

1 / (2 + √5) = (√5 - 2) / ((√5 + 2)(√5 - 2)) = (√5 - 2) / (5 - 4) = √5 - 2

نعوض هذه القيمة مرة أخرى:

A = 2 + 1 / (4 + √5 - 2) = 2 + 1 / (2 + √5)

نبسط الكسر الأخير:

1 / (2 + √5) = (√5 - 2) / ((√5 + 2)(√5 - 2)) = (√5 - 2) / (5 - 4) = √5 - 2

أخيرًا، نحسب قيمة A:

A = 2 + √5 - 2 = √5

إذن، قيمة العدد A هي √5.

المسألة الثالثة:

بما أن الأعداد a و b و c متناسبة مع 3 و 4 و 7 على التوالي، يمكننا كتابة:

a = 3k

b = 4k

c = 7k

حيث k هو ثابت التناسب.

علمًا بأن abc = 672، نعوض قيم a و b و c:

(3k)(4k)(7k) = 672

84k³ = 672

k³ = 672 / 84

k³ = 8

k = 2

الآن، نجد قيم a و b و c:

a = 3 × 2 = 6

b = 4 × 2 = 8

c = 7 × 2 = 14

إذن، الأعداد الحقيقية الثلاثة هي 6 و 8 و 14.

المسألة الرابعة:

يبدو أن هناك خطأ في نص المسألة الرابعة. المطلوب هو إثبات أنه إذا كان x² + y² ≥ 1/20، فإن 2x + 4y = 1. هذه العبارة غير صحيحة. على سبيل المثال، إذا كان x = 1 و y = 0، فإن x² + y² = 1 ≥ 1/20، ولكن 2x + 4y = 2(1) + 4(0) = 2 ≠ 1.

من المرجح أن المقصود هو إثبات العكس: إذا كان 2x + 4y = 1، فإن x² + y² ≥ 1/20.

لإثبات ذلك، نعبر عن x بدلالة y من المعادلة 2x + 4y = 1:

2x = 1 - 4y

x = (1 - 4y) / 2

نعوض قيمة x في التعبير x² + y²:

x² + y² = ((1 - 4y) / 2)² + y²

= (1 - 8y + 16y²) / 4 + y²

= 1/4 - 2y + 4y² + y²

= 5y² - 2y + 1/4

لإيجاد القيمة الصغرى لهذا التعبير التربيعي، يمكننا إكمال المربع:

5y² - 2y + 1/4 = 5(y² - (2/5)y) + 1/4

= 5(y² - (2/5)y + (1/5)² - (1/5)²) + 1/4