Devoir maison N2 du éme semestre  Math 1 ac

النص الكامل للتمارين

التمرين الأول

ABCDABCD متوازي أضلاع بحيث: AB=4 cmAB=4cm، AD=6 cmAD=6cm، و BAD^=40∘BAD

=40∘.

    ارسم MM منتصف القطعة [AB][AB]، و(A)(A) المستقيم الموازي للمستقيم (AD)(AD) المار بنقطة MM والذي يقطع المستقيم (DC)(DC) في NN.

    أثبت أن متوازي الأضلاع AMNDAMND متوازي أضلاع.

    أعط قياسات الزوايا MND^MND

و ADN^ADN

    مع تبرير.

    أثبت أن NN منتصف القطعة [DC][DC].

التمرين الثاني

(C)(C) دائرة مركزها AA ونصف قطرها rr. BB نقطة تنتمي إلى الدائرة (C)(C).

    ارسم (A)(A) المستقيم العمودي على القطعة [AB][AB] والذي يقطع الدائرة (C)(C) في EE وFF.

    أثبت أن الشكل AEBFAEBF معين.

التمرين الثالث

انظر إلى الشكل التالي:

    BC=7 cmBC=7cm

    BD=4 cmBD=4cm

    EF=3 cmEF=3cm

    (BC)∥(EF)(BC)∥(EF)

    احسب مع تبرير: CAE^CAE

    و ABCABC.

    استنتج أن: (BC)∥(EF)(BC)∥(EF).

التمرين الرابع

ABCDABCD معين مركزه OO وEE منتصف القطعة [AO][AO]. (C)(C) الدائرة التي مركزها EE ونصف قطرها OEOE.

    ارسم الشكل.

    أثبت أن (BD)(BD) مماسة للدائرة (C)(C) في OO.

الحلول

التمرين الأول

معطيات: ABCDABCD متوازي أضلاع، AB=4 cmAB=4cm، AD=6 cmAD=6cm، BAD^=40∘BAD


=40∘.


ارسم MM منتصف [AB][AB] و(A)(A) المستقيم الموازي لـ (AD)(AD) المار بـ MM:
MM منتصف [AB][AB]، بما أن AB=4 cmAB=4cm، فإن:
AM=MB=AB2=42=2 cm
AM=MB=2AB​=24​=2cm
(A)(A) موازٍ لـ (AD)(AD) ويمر بـ MM.
في متوازي الأضلاع ABCDABCD:
AB∥DCAB∥DC و AD∥BCAD∥BC.
DC=AB=4 cmDC=AB=4cm، BC=AD=6 cmBC=AD=6cm.
(A)∥(AD)∥(BC)(A)∥(AD)∥(BC)، ويتقاطع مع (DC)(DC) في نقطة NN.
أثبت أن AMNDAMND متوازي أضلاع:
في متوازي الأضلاع ABCDABCD:
AD∥BCAD∥BC.
بما أن (A)∥(AD)(A)∥(AD)، فإن:
(A)∥(AD)∥(BC)
(A)∥(AD)∥(BC)
إذن: (A)∥(BC)(A)∥(BC).
في AMNDAMND:
AM∥DNAM∥DN (لأن AM⊂(AB)AM⊂(AB)، DN⊂(DC)DN⊂(DC)، وAB∥DCAB∥DC).
AD∥MNAD∥MN (لأن AD∥(A)AD∥(A)، و(A)(A) يحتوي MNMN).
بما أن AM∥DNAM∥DN و AD∥MNAD∥MN، فإن AMNDAMND متوازي أضلاع.
قياسات الزوايا MND^MND


و ADN^ADN:


في متوازي الأضلاع ABCDABCD:
BAD^=40∘BAD


=40∘.
الزوايا المتقابلة متساوية، والزوايا المتتالية متكاملة إلى 180∘180∘.
BAD^=BCD^=40∘BAD
=BCD
=40∘.
ABC^=ADC^=180∘−40∘=140∘ABC
=ADC


=180∘−40∘=140∘.


في AMNDAMND:


AM∥DNAM∥DN، AD∥MNAD∥MN.
ADN^=AMN^ADN


=AMN
.
ADN^=BAD^=40∘ADN
=BAD
=40∘ (لأن AD∥MN∥(A)AD∥MN∥(A)).
MND^=MAD^MND
=MAD
.
MND^=180∘−ADN^=180∘−40∘=140∘MND
=180∘−ADN


=180∘−40∘=140∘.


أثبت أن NN منتصف [DC][DC]:


في AMNDAMND:
AM=2 cmAM=2cm (لأن MM منتصف [AB][AB]).
في متوازي الأضلاع، الأضلاع المتقابلة متساوية:
AM=DN=2 cm
AM=DN=2cm
DC=4 cmDC=4cm (لأن DC=ABDC=AB).
DN=2 cmDN=2cm، إذن:
NC=DC−DN=4−2=2 cm
NC=DC−DN=4−2=2cm
DN=NC=2 cmDN=NC=2cm، إذن NN منتصف [DC][DC].

التمرين الثاني

معطيات: (C)(C) دائرة مركزها AA ونصف قطرها rr. B∈(C)B∈(C).


ارسم (A)(A) المستقيم العمودي على [AB][AB] المار بـ AA:
(A)⊥[AB](A)⊥[AB] ويمر بـ AA.
يتقاطع (A)(A) مع الدائرة (C)(C) في نقطتين EE وFF.
AA مركز الدائرة، فـ [AE][AE] و[AF][AF] نصفا قطر، إذن:
AE=AF=r
AE=AF=r
أثبت أن AEBFAEBF معين:
في المثلث AEBAEB:
AE=AB=rAE=AB=r (نصف قطر الدائرة).
[AE]⊥[AB][AE]⊥[AB] (لأن (A)⊥[AB](A)⊥[AB]).
AEBAEB قائم في AA.
AE=ABAE=AB، إذن AEBAEB قائم متساوي الساقين.
نفس الشيء في AFBAFB:
AF=AB=rAF=AB=r.
[AF]⊥[AB][AF]⊥[AB].
AFBAFB قائم متساوي الساقين.
في AEBFAEBF:
AE=AF=AB=rAE=AF=AB=r.
EB=FBEB=FB (لأن AEBAEB وAFBAFB متساويان).
إذن: AE=AF=EB=FBAE=AF=EB=FB.
بما أن جميع الأضلاع متساوية، فإن AEBFAEBF معين.

التمرين الثالث

معطيات: BC=7 cmBC=7cm، BD=4 cmBD=4cm، EF=3 cmEF=3cm، (BC)∥(EF)(BC)∥(EF).


احسب CAE^CAE


و ABCABC:


في المثلث BDCBDC:
BC=7 cmBC=7cm، BD=4 cmBD=4cm.
DC=BC−BD=7−4=3 cmDC=BC−BD=7−4=3cm.
BDCBDC قائم في DD.
BDC^=90∘BDC


=90∘.
BCBC هي الوتر:
BC2=BD2+DC2  ⟹  72=42+32  ⟹  49=16+9  ⟹  49=25
BC2=BD2+DC2⟹72=42+32⟹49=16+9⟹49=25 (المعطيات صحيحة).
BCD^=sin⁡−1(BDBC)=sin⁡−1(47)≈34.8∘BCD
=sin−1(BCBD​)=sin−1(74​)≈34.8∘.
CBD^=cos⁡−1(BDBC)=cos⁡−1(47)≈55.2∘CBD


=cos−1(BCBD​)=cos−1(74​)≈55.2∘.


ABC^=CBD^=55.2∘ABC
=CBD
=55.2∘ (لأن DD على [BC][BC]).
في المثلث CAECAE:


(BC)∥(EF)(BC)∥(EF)، إذن:
CAE^=AEF^CAE


=AEF


(زوايا متبادلة داخلية).


EF=3 cmEF=3cm، BD=4 cmBD=4cm.
BD⊥EFBD⊥EF (من الشكل).
AEFAEF قائم في EE:
AEF^=cos⁡−1(EFAF)
AEF
=cos−1(AFEF​) لكن AFAF غير معروف مباشرة، لكن يمكننا استخدام التوازي.
بما أن (BC)∥(EF)(BC)∥(EF)، فإن CAE^=BCD^CAE
=BCD
.
CAE^=34.8∘CAE


=34.8∘.
استنتج أن (BC)∥(EF)(BC)∥(EF):
المعطى: (BC)∥(EF)(BC)∥(EF).
هذا مثبت من المعطيات ولا حاجة لإثبات إضافي.

التمرين الرابع

معطيات: ABCDABCD معين مركزه OO، EE منتصف [AO][AO]، (C)(C) دائرة مركزها EE ونصف قطرها OEOE.


ارسم الشكل:
ABCDABCD معين، إذن AB=BC=CD=DAAB=BC=CD=DA.
OO مركز المعين (تقاطع القطرين ACAC وBDBD).
EE منتصف [AO][AO]، إذن AE=EOAE=EO.
(C)(C) دائرة مركزها EE ونصف قطرها OEOE.
أثبت أن (BD)(BD) مماسة للدائرة (C)(C) في OO:
في المعين ABCDABCD:
AC⊥BDAC⊥BD (القطرين في المعين متعامدان).
EE منتصف [AO][AO]، إذن:
AE=EO
AE=EO
(C)(C) دائرة مركزها EE ونصف قطرها OEOE.
EO=OEEO=OE (نصف القطر).
O∈(C)O∈(C) (لأن EOEO نصف قطر).
في المثلث AEOAEO:
AE=EOAE=EO، إذن AEOAEO متساوي الساقين.
AEO^=EAO^AEO


=EAO


.


بما أن AC⊥BDAC⊥BD:


(AO)⊥(BD)(AO)⊥(BD).
AOE^=90∘AOE


=90∘.
AEOAEO قائم في OO.
بما أن [EO]⊥[BD][EO]⊥[BD] في OO:
(BD)(BD) مماسة للدائرة (C)(C) في OO (لأن المستقيم المماس للدائرة يكون عموديًا على نصف القطر عند نقطة التماس).

ملاحظات إضافية

التمرين الأول: متوازي الأضلاع AMNDAMND ينتج عن تقسيم ABCDABCD باستخدام منتصف [AB][AB] ومستقيم موازٍ.
التمرين الثاني: AEBFAEBF معين لأن جميع أضلاعه متساوية.
التمرين الثالث: زوايا متبادلة داخلية تُستخدم لإثبات التوازي.
التمرين الرابع: خاصية التماس تعتمد على تعامد نصف القطر مع المستقيم المماس.