Devoir surveillé n2 deuxième semestre Mathématiques 3APIC
Devoir surveillé n2 deuxième semestre Mathématiques 3APIC
النص الكامل للتمارين
التمرين الأول
المستوى مزود بمِعْلَم متعامد (O;I,J)(O;I,J).
نعتبر النقاط: E(1;2)E(1;2)، F(−1;1)F(−1;1)، وG(3;−2)G(3;−2).
ضع النقاط EE، FF، وGG في المِعْلَم (O;I,J)(O;I,J).
حدد إحداثيات المتجه EG→EG
ثم احسب المسافة EGEG.
تحقق أن النقطة K(2;0)K(2;0) هي منتصف القطعة [EG][EG].
تحقق أن المعادلة المبسطة للمستقيم (EG)(EG) هي y=−2x+4y=−2x+4.
ليكن (Δ)(Δ) المستقيم ذو المعادلة: y=12x−1y=21x−1. أ. احسب المعامل الزاوي للمستقيم (Δ)(Δ). ب. أثبت أن المستقيمين (EG)(EG) و(Δ)(Δ) متعامدان. ج. استنتج أن (Δ)(Δ) هو المنصف للقطعة [EG][EG].
حدد المعادلة المبسطة للمستقيم (D)(D) المار بـ FF والموازي لـ (EG)(EG).
ارسم المستقيمين (Δ)(Δ) و(D)(D) في المِعْلَم (O;I,J)(O;I,J).
التمرين الثاني
نعتبر النظام التالي:
{x+2y=350x−y=80
{x+2y=350x−y=80 أ. هل الزوج (170;90)(170;90) حل لهذا النظام؟ برر إجابتك. ب. حل النظام السابق باستخدام الطريقة الجبرية.
اشترى علي قميصين بنفس السعر وجوربًا بـ 350 درهم.
احسب سعر القميص وسعر الجورب علمًا أن سعر الجورب يزيد عن سعر القميص بـ 80 درهم.
الحلول
التمرين الأول
معطيات: E(1;2)E(1;2)، F(−1;1)F(−1;1)، G(3;−2)G(3;−2).
ضع النقاط EE، FF، وGG في المِعْلَم:
E(1;2)E(1;2): على المحور الأفقي x=1x=1، والمحور الرأسي y=2y=2.
F(−1;1)F(−1;1): x=−1x=−1، y=1y=1.
G(3;−2)G(3;−2): x=3x=3، y=−2y=−2.
(هذا الجزء يتطلب رسمًا، لكن يمكن تخيله على ورقة: ضع النقاط في المستوى بناءً على الإحداثيات).
حدد إحداثيات EG→EG
ثم احسب EGEG:
إحداثيات EG→EG
:
EG→=(xG−xE;yG−yE)=(3−1;−2−2)=(2;−4)
EG
=(xG−xE;yG−yE)=(3−1;−2−2)=(2;−4)
المسافة EGEG:
EG=(xG−xE)2+(yG−yE)2=(3−1)2+(−2−2)2=22+(−4)2=4+16=20=25
EG=(xG−xE)2+(yG−yE)2
=(3−1)2+(−2−2)2
=22+(−4)2
=4+16
=20
=25
تحقق أن K(2;0)K(2;0) منتصف [EG][EG]:
إحداثيات منتصف [EG][EG]:
منتصف [EG]=(xE+xG2;yE+yG2)=(1+32;2+(−2)2)=(42;02)=(2;0)
منتصف [EG]=(2xE+xG;2yE+yG)=(21+3;22+(−2))=(24;20)=(2;0)
إحداثيات K(2;0)K(2;0) تتطابق مع إحداثيات المنتصف، إذن KK منتصف [EG][EG].
تحقق أن المعادلة المبسطة لـ (EG)(EG) هي y=−2x+4y=−2x+4:
المعامل الزاوي لـ (EG)(EG):
m=yG−yExG−xE=−2−23−1=−42=−2
m=xG−xEyG−yE=3−1−2−2=2−4=−2
المعادلة: y−yE=m(x−xE)y−yE=m(x−xE):
y−2=−2(x−1) ⟹ y−2=−2x+2 ⟹ y=−2x+4
y−2=−2(x−1)⟹y−2=−2x+2⟹y=−2x+4
المعادلة تتطابق مع المعطى y=−2x+4y=−2x+4.
ليكن (Δ)(Δ) المستقيم ذو المعادلة y=12x−1y=21x−1:
أ. احسب المعامل الزاوي لـ (Δ)(Δ):
المعادلة: y=12x−1y=21x−1.
المعامل الزاوي mΔ=12mΔ=21.
ب. أثبت أن (EG)(EG) و(Δ)(Δ) متعامدان:
معامل (EG)(EG): mEG=−2mEG=−2.
معامل (Δ)(Δ): mΔ=12mΔ=21.
شرط التعامد: mEG×mΔ=−1mEG×mΔ=−1:
−2×12=−1
−2×21=−1
الشرط متحقق، إذن (EG)⊥(Δ)(EG)⊥(Δ).
ج. استنتج أن (Δ)(Δ) هو المنصف لـ [EG][EG]:
(EG)⊥(Δ)(EG)⊥(Δ) (ثبت أعلاه).
(Δ)(Δ) يمر بمنتصف [EG][EG] (النقطة K(2;0)K(2;0)):
أدخل x=2x=2 في معادلة (Δ)(Δ):
y=12(2)−1=1−1=0
y=21(2)−1=1−1=0
النقطة (2;0)(2;0) تقع على (Δ)(Δ).
بما أن (Δ)(Δ) يمر بمنتصف [EG][EG] وعمودي عليه، فإن (Δ)(Δ) هو المنصف لـ [EG][EG].
حدد المعادلة المبسطة لـ (D)(D) المار بـ FF والموازي لـ (EG)(EG):
(D)∥(EG)(D)∥(EG)، إذن المعامل الزاوي لـ (D)(D) هو نفس معامل (EG)(EG): m=−2m=−2.
(D)(D) يمر بـ F(−1;1)F(−1;1):
y−yF=m(x−xF) ⟹ y−1=−2(x−(−1)) ⟹ y−1=−2(x+1) ⟹ y−1=−2x−2 ⟹ y=−2x−1
y−yF=m(x−xF)⟹y−1=−2(x−(−1))⟹y−1=−2(x+1)⟹y−1=−2x−2⟹y=−2x−1
المعادلة المبسطة لـ (D)(D): y=−2x−1y=−2x−1.
ارسم (Δ)(Δ) و(D)(D):
(Δ)(Δ): y=12x−1y=21x−1:
عند x=0x=0: y=−1y=−1 → النقطة (0;−1)(0;−1).
عند y=0y=0: 0=12x−1 ⟹ 12x=1 ⟹ x=20=21x−1⟹21x=1⟹x=2 → النقطة (2;0)(2;0).
(D)(D): y=−2x−1y=−2x−1:
عند x=0x=0: y=−1y=−1 → النقطة (0;−1)(0;−1).
عند y=0y=0: 0=−2x−1 ⟹ −2x=1 ⟹ x=−120=−2x−1⟹−2x=1⟹x=−21 → النقطة (−0.5;0)(−0.5;0).
(ارسم المستقيمين على نفس المِعْلَم).
التمرين الثاني
نظام المعادلات:
{x+2y=350(1)x−y=80(2)
{x+2y=350(1)x−y=80(2)
أ. هل الزوج (170;90)(170;90) حل للنظام؟:
أدخل x=170x=170، y=90y=90 في المعادلة (1):
170+2(90)=170+180=350(صحيح)
170+2(90)=170+180=350(صحيح)
أدخل في المعادلة (2):
170−90=80(صحيح)
170−90=80(صحيح)
الزوج (170;90)(170;90) يحقق النظام، إذن هو حل.
ب. حل النظام جبريًا:
اطرح المعادلة (2) من المعادلة (1):
(x+2y)−(x−y)=350−80
(x+2y)−(x−y)=350−80
x+2y−x+y=270 ⟹ 3y=270 ⟹ y=90
x+2y−x+y=270⟹3y=270⟹y=90
أدخل y=90y=90 في المعادلة (2):
x−90=80 ⟹ x=80+90=170
x−90=80⟹x=80+90=170
الحل: x=170x=170، y=90y=90.
سعر القميص والجورب:
ليكن xx سعر القميص (درهم)، وyy سعر الجورب (درهم).
المعطيات:
اشترى قميصين وجوربًا بـ 350 درهم:
2x+y=350(1)
2x+y=350(1)
سعر الجورب يزيد عن سعر القميص بـ 80 درهم:
y=x+80(2)
y=x+80(2)
أدخل (2) في (1):
2x+(x+80)=350 ⟹ 3x+80=350 ⟹ 3x=270 ⟹ x=90
2x+(x+80)=350⟹3x+80=350⟹3x=270⟹x=90
أدخل x=90x=90 في (2):
y=90+80=170
y=90+80=170
إذن:
سعر القميص: 90 درهم.
سعر الجورب: 170 درهم.